Примеры решения задач по математике

Функциональная зависимость Понятие функции является одним из основных понятий математического анализа.

Сложные и обратные функции

Числовая последовательность и её предел

Непрерывность функции Пример. Исследовать на непрерывность функцию

Производная Определение производной возникло в результате абстракции из большого числа разнообразных задач геометрического, физического, экономического содержания. Среди них выделяют задачу о касательной, задачу о мгновенной скорости, задачу о производительности труда.

Дифференциал Пример. Найти приращение и дифференциал функции  при  и

Приложения производной Основные теоремы дифференциального исчисления Теорема Ферма. Если дифференцируемая на промежутке X функция  достигает наибольшего или наименьшего значения во внутренней точке  этого промежутка, то производная функции в этой точке равна нулю, то есть .

Правило Лопиталя используется при вычислении пределов и служит для раскрытия неопределённостей типа   или .

Исследование функций с помощью производной Пример. Найти интервал монотонности функции

Задачи на максимум и минимум Приведём примерные планы решения текстовых задач на экстремум:

Алгоритм исследования функции на выпуклость и точки перегиба

1. Найти вторую производную функции .

2. Найти точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует.

3. Исследовать знак второй производной слева и справа от найденных точек и сделать вывод об интервалах выпуклости и наличии точек перегиба. Если вторая производная будет менять свой знак с плюса на минус или с минуса на плюс в исследуемой точке, то эта точка будет точкой перегиба. Если вторая производная знака не меняет, то точек перегиба нет.

Исследуем функцию на непрерывность. Функция непрерывна в области определения как частное двух непрерывных функций. Вертикальных асимптот нет.

Вычислить неопределённый интеграл — это значит найти множество всех первообразных для подынтегральной функции.

Метод интегрирования по частям Пример. Вычислить интеграл .

Метод замены переменной является одним из основных методов интегрирования. Пример. Вычислить интеграл.

Интегрирование некоторых классов функций Вычислить интеграл .

Интегрирование некоторых видов иррациональностей При интегрировании иррациональных функций основная задача заключается в выборе такой подстановки, которая данное подынтегральное выражение преобразует в рациональное, то есть рационализирует его.

Определённый интеграл и его вычисление Вычислить .

Несобственные интегралы Пример. Вычислить или доказать расходимость интеграла .

Функции нескольких переменных Найти область определения функции .

Предел и непрерывность Пример 1. Вычислить предел .

Частные производные высших порядков Пример. Доказать, что функция   удовлетворяет соотношению .

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ И ИХ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

Пример. Найти значение функции   в точке .

Пример. Найти частные производные функции Решение. При нахождении частной производной по x будем рассматривать y как величину постоянную

Сложная функция нескольких переменных и ее дифференцирование. Полный дифференциал Цель занятия. Научить студентов дифференцировать сложные функции двух переменных, находить частные и полные производные, полные дифференциалы.

Пример. Найти полный дифференциал функции .

Дифференцирование функции нескольких переменных

Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала. Пример. Вычислить приближенно значение , исходя из значения функции  при x = 1, y = 2, z = 1.

Экстремум функции нескольких переменных Пример. Найти экстремум функции f(x, y) = xy, если уравнение связи: 2x + 3y – 5 = 0.

Производная по направлению Вычислить производную функции z = x2 + y2x в точке А(1, 2) по направлению вектора . В (3, 0).

Найти области определения функций

Кратные интегралы. Как известно, интегрирование является процессом суммирования. Однако суммирование может производится неоднократно, что приводит нас к понятию кратных интегралов. Рассмотрение этого вопроса начнем с рассмотрения двойных интегралов.

Замена переменных в двойном интеграле

Тройной интеграл. При рассмотрении тройного интеграла не будем подробно останавливаться на всех тех теоретических выкладках, которые были детально разобраны применительно к двойному интегралу, т.к. существенных различий между ними нет.

Геометрические и физические приложения кратных интегралов. Вычисление площадей в декартовых координатах. Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y2 = 4x + 4; x + y – 2 = 0.

Теория функций комплексных переменных Определение. Если каждому комплексному числу z из некоторого множества D по некоторому закону поставлено в соответствие определенное комплексное число w из множества G, то на этой области задана однозначная функция комплексного переменного, отображающая множество D на множество G.

Производная функций комплексного переменного

Ряды Тейлора и Лорана Пример. Найти вычет функции  относительно точки z = 2.

Операционное исчисление. Преобразование Лапласа.

Решить уравнение

Криволинейные интегралы Пример. Вычислить интеграл  по одному витку винтовой линии

Формула Остроградского – Грина

Свойства поверхностного интеграла первого рода

Элементы теории поля Пример. Найти , если

Математика Примеры решения задач