Аналитическая геометрия Выпуклость функции


        Теорема 7.9   Пусть функция $ f(x)$ определена на интервале $ (a;b)$ и $ x^*$ -- некоторая точка этого интервала. При всех $ x\ne x^*,\; x\in(a;b)$ определено разностное отношение -- функция
$\displaystyle t_{x^*}(x)=\dfrac{f(x)-f(x^*)}{x-x^*}.$
Тогда функция $ f$ выпукла на интервале $ (a;b)$ в том и только том случае, когда функция $ t_{x^*}(x)$ не убывает на множестве $ (a;x^*)\cup(x^*;b)$.
        Замечание 7.7   Функция $ t_{x^*}(x)$ равна тангенсу угла наклона хорды, одним из концов которой служит фиксированная точка $ (x^*;f(x^*))$, а вторым концом -- переменная точка графика $ (x;f(x))$. Тем самым, теорема означает, что у выпуклых функций угловые коэффициенты хорд графика не убывают, где бы ни был фиксирован один из концов хорды.
Рис.7.33.Угловой коэффициент хорды с фиксированным концом возрастает, если функция выпукла

Заметим также, что функция $ t_{x^*}(x)$ имеет следующее свойство:

Действительно,
$\displaystyle t_y(x)=\dfrac{f(x)-f(y)}{x-y}=\dfrac{f(y)-f(x)}{y-x}=t_x(y).$   

    
        Доказательство теоремы 7.9.     Выберем любые две точки $ x_1,x_2\in(a;b)$. Предположим, что $ x^*<x_1<x_2$ (случаи иного расположения точек $ x^*,x_1,x_2$ рассматриваются аналогично). Поскольку $ x_1\in(x^*;x_2)$, то $ x_1={\alpha}x^*+(1-{\alpha})x_2$ при некотором $ {\alpha}\in(0;1)$. Нетрудно видеть, что тогда $ {\alpha}=\dfrac{x_2-x_1}{x_2-x^*}$ и $ 1-{\alpha}=\dfrac{x_1-x^*}{x_2-x^*}$. Поэтому из выпуклости функции $ f(x)$ следует, что
$\displaystyle f(x_1)=f({\alpha}x^*+(1-{\alpha})x_2)\leqslant
\dfrac{x_2-x_1}{x_2-x^*}f(x^*)+\dfrac{x_1-x^*}{x_2-x^*}f(x_2).$
Умножая на $ x_2-x^*>0$, получаем:
$\displaystyle (x_2-x^*)f(x_1)\leqslant (x_2-x_1)f(x^*)+(x_1-x^*)f(x_1).$
Теперь вычтем $ (x_2-x^*)f(x^*)$ из обеих частей неравенства. Получим, после раскрытия скобок в правой части и приведения подобных членов:
$\displaystyle (x_2-x^*)(f(x_1)-f(x^*))\leqslant (x_1-x^*)(f(x_2)-f(x^*)).$
Теперь разделим обе части неравенства на $ x_1-x^*>0$ и $ x_2-x^*>0$ и получим:
$\displaystyle \dfrac{f(x_1)-f(x^*)}{x_1-x^*}\leqslant \dfrac{f(x_2)-f(x^*)}{x_2-x^*},$
то есть
$\displaystyle t_{x^*}(x_1)\leqslant t_{x^*}(x_2).$
Это означает, что функция $ t_{x^*}$ -- неубывающая.
Доказательство того, что из неубывания функции $ t_{x^*}$ следует выпуклость функции $ f(x)$, можно провести, если проделать все преобразования в обратном порядке.     
        Замечание 7.8   Очевидно, что аналогично доказывается следующее утверждение:
функция $ f(x)$ вогнута на интервале $ (a;b)$ тогда и только тогда, когда при любом $ x^*\in(a;b)$ функция $ t_{x^*}(x)$ не возрастает на множестве $ (a;x^*)\cup(x^*;b)$.     
Доказанная теорема содержит хотя и важный, но всё же вспомогательный результат. На её основании мы получим следующее утверждение, которое уже гораздо удобнее применять на практике для исследования выпуклости.

Вертикальные асимптоты. Выяснить, как ведёт себя функция при приближении аргумента к граничным точкам области определения D(f), если такие граничные точки имеются. При этом могут обнаружиться вертикальные асимптоты. Если функция имеет такие точки разрыва, в которых она не определена, то эти точки тоже проверить на наличие вертикальных асимптот функции.

Математика Интегральное исчисление