СУБД администратору базы данных Цель инфологического моделирования Целостность даталогическая модель данных Реляционная база данных реляционная алгебра пользователь системы Избыточность Нормализация Типовая организация СУБД Язык SQL

 

Метод секущих Приближённое нахождение корней уравнений

В качестве функции $ {\lambda}(x)$ берут любую постоянную $ {\lambda}_0$, знак которой совпадает со знаком производной $ f'(x)$ в окрестности $ E$ (и, в частности, на отрезке, соединяющем $ x_0$ и $ x^*$). Постоянная $ {\lambda}_0$ не зависит также и от номера шага $ i$. Тогда формула итераций оказывается очень проста:

$\displaystyle x_{i+1}=x_i-{\lambda}_0f(x_i),$

и на каждой итерации нужно один раз вычислить значение функции $ f(x)$.

Выясним смысл этой формулы, а также смысл условия о совпадении знаков $ f'$ и $ {\lambda}_0$. Рассмотрим прямую, проходящую через точку $ (x_i;f(x_0))$ на графике $ y=f(x)$ с угловым коэффициентом $ \mathop{\rm tg}\nolimits {\alpha}=\dfrac{1}{{\lambda}_0}$. Тогда уравнением этой прямой будет

$\displaystyle y=f(x_i)+\dfrac{1}{{\lambda}_0}(x-x_i).$
Математика лекции и задачи Применение степенных рядов к приближенным вычислениям. Вычисление значений функций.

Найдём точку пересечения этой прямой с осью $ Ox$ из уравнения

$\displaystyle f(x_i)+\dfrac{1}{{\lambda}_0}(x-x_i)=0,$

откуда $ x=x_i-{\lambda}_0f(x_i)=x_{i+1}$. Следовательно, эта прямая пересекает ось $ Ox$ как раз в точке следующего приближения. Тем самым получаем следующую геометрическую интерпретацию последовательных приближений. Начиная с точки $ x_0$, через соответствующие точки графика $ y=f(x)$ проводятся секущие с угловым коэффициентом $ k=\dfrac{1}{{\lambda}_0}$ того же знака, что производная $ f'(x_0)$. (Заметим, что, во-первых, значение производной вычислять не обязательно, достаточно лишь знать, убывает функция $ f(x)$ или возрастает; во-вторых, что прямые, проводимые при разных $ x_i$, имеют один и тот же угловой коэффициент $ k$ и, следовательно, параллельны друг другу.) В качестве следующего приближения к корню берётся точка пересечения построенной прямой с осью $ Ox$.

Рис.9.11.Последовательные итерации метода секущих

На чертеже слева изображены итерации при $ f'(x)>0$, в случае $ k=\dfrac{1}{{\lambda}_0}<f'(x_0)$ и в случае $ k=\dfrac{1}{{\lambda}_0}>f'(x_0)$. Мы видим, что в первом случае меняющаяся точка $ x_i$ уже на первом шаге "перепрыгивает" по другую сторону от корня $ x^*$, и итерации начинают приближаться к корню с другой стороны. Во втором случае последовательные точки $ x_i$ приближаются к корню, оставаясь всё время с одной стороны от него. (Исследуйте сами, как выглядит процесс в случае $ f'(x)<0$, то есть когда функция $ f(x)$ убывает.)

Достаточное условие сходимости, которое нам даёт теорема 9.3, таково:

$\displaystyle \vert{\varphi}'(x)\vert=\vert 1-{\lambda}_0f'(x)\vert\leqslant {\gamma}<1.$

Это неравенство можно записать в виде

$\displaystyle -{\gamma}+1\leqslant {\lambda}_0f'(x)\leqslant {\gamma}+1,$

откуда получаем, что сходимость гарантируется, когда, во-первых,

$\displaystyle {\lambda}_0f'(x)>0,$

так как $ -{\gamma}+1>0$ (тем самым проясняется смысл выбора знака числа $ {\lambda}_0$), а во-вторых, когда $ {\lambda}_0f'(x)<2$ при всех $ x$ на всём рассматриваемом отрезке, окружающем корень. Это второе неравенство заведомо выполнено, если

$\displaystyle \vert k\vert=\dfrac{1}{\vert{\lambda}_0\vert}>\dfrac{M_1}{2},$

где $ M_1=\max\limits_{x}\vert f'(x)\vert$. Таким образом, угловой коэффициент $ k$ не должен быть слишком мал по абсолютной величине: при малом угловом коэффициенте уже на первом шаге точка $ x_1$ может выскочить из рассматриваемой окрестности корня $ x^*$, и сходимость итераций к корню может быть нарушена.

Нахождение интервалов выпуклости и вогнутости. Это делается с помощью исследования знака второй производной f(x). Найти точки перегиба на стыках интервалов выпуклости и вогнутости. Вычислить значение функции в точках перегиба. Если функция имеет другие точки непрерывности (кроме точек перегиба), в которых вторая производная равна 0 либо не существует, то в этих точках также полезно вычислить значение функции

Математика Интегральное исчисление