Кривые и поверхности Линейные пространства уравнения

монтаж газовой плиты

Математика
	Функции и их графики
	Пределы
	Производные
	Векторная алгебра
	Корни уравнения
	Кривые и поверхности
	Комплексные числа
	Математическая логика
	Дифференцирование и интегральное исчисление
	Дифференциальные уравнения
	Интегралы
	Курсовые задания
	Применение интегралов
	Теория функций комплексного переменного
	Двойные интегралы
	Дифуры
	Элементарная математика
	Интегральное исчисление
	Математический анализ
	Степенные ряды
	Вычисление пределов
	Типовой расчет
	Подготовка к экзамену
	Примеры решения задач
	Лекции матан
	Правило Лопиталя
	Элементы теории кривых
	Производные и дифференциалы высших порядков
	Непрерывные функции
	Предел функции
	Последовательности
	Формула Тейлора
	Определенные интегралы
	Кратные интегралы
	Тензоры
	Интегралы, зависящие от параметра
	Элементы теории поля
	Криволинейные интегралы
	Тройные интегралы
	Задачи по Кузнецову
	Вычислить предел
	Построить график
	Комбинаторика
Физика
	Кинематика материальной точки
	Динамика материальной точки
	Гравитация Космические скорости
	Неинерциальные системы отсчета
	Колебания
	Специальная теория относительности
Компьютерные сети
	Вычислительные сети
	Основы передачи дискретных данных
	Базовые технологии
	Построение локальных сетей
	Сетевой уровень
	Глобальные сети
	Средства анализа
	Протокол пересылки файлов (FTP)
	Монтаж локальной сети
	Семейство протоколов TCP/IP
	Топология ЛВС
	Стандартные локальные сети
Информатика
Учебник по программированию C++
Служба каталогов Active Directory
Компьютерная безопасность
Брандмауэры
Сетевая архитектура
Клиент и сервер
Турбо Паскаль Практикум
Процедуры и функции Pascal
Примеры программирования
Архитектура ЭВМ
Pascal. Курс лекций
Сетевые операционные системы
Язык запросов SQL
Логическое программирование
Программа Проводник
Электронная почта E-Mail
Защита компьютерной информации

Кривые второго порядка

Определение Кривой второго порядка называется множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению второго порядка $\displaystyle ax^2+bxy+cy^2+dx+fy+g=0,$

Окружность

Эллипс

Определение 12.3 Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек той же плоскости, назывемых фокусами эллипса, есть величина постоянная.

Предложение Эллипс обладает двумя взаимно перпендикулярными осями симметрии, на одной из которых находятся его фокусы, и центром симметрии. Если эллипс задан каноническим уравнением (12.4), то его осями симметрии служат оси и , начало координат -- центр симметрии.
Гипербола
Парабола

Пример Постройте параболу . Найдите ее фокус и директрису.

Параллельный перенос системы координат

Пусть на плоскости заданы две декартовы прямоугольные системы координат: ("старая") и $\tilde xO_1\tilde y$ ("новая"), причем как оси абсцисс, так и оси ординат обеих систем параллельны и одинаково направлены

В этом случае говорят, что одна система координат получается из другой "параллельным переносом".
Пример Нарисуйте кривую ${x^2+9y^2-4x+18y+4=0}$ и найдите ее фокусы.

Пример Постройте кривую $\displaystyle x+1+\sqrt{2-2y^2+4y}=0.$

Поверхности второго порядка

Определение Поверхностью второго порядка называется поверхность, определяемая уравнением $\displaystyle ax^2+by^2+cz^2+dxy+fxz+gyz+hx+ky+lz+m=0,$

Сфера
Эллипсоид

Сечения эллипсоида координатными плоскостями
Гиперболоиды

Однополостным гиперболоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1,$

Определение Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид $\displaystyle -\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1,$
Конус

Конусом второго порядка называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0,$

Параболоиды

Определение Гиперболическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид $\displaystyle z=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2},$
Цилиндры

Цилиндрической поверхностью называется геометрическое место параллельных прямых, пересекающих данную линию. Эта линия называется направляющей, а параллельные прямые -- образующими.
Параллельный перенос системы координат

Пример Нарисуйте поверхность .

Линейные пространства уравнения

Системы линейных уравнений
Определение 15.1 Системой линейных уравнений с неизвестными называется система уравнений вида $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\ldots+a_{1n}x_n=b_1,\... ...ots\ldots\ldots\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\ldots+a_{mn}x_n=b_m.\end{array}\right.$

Правило Крамера

Теорема (Правило Крамера) Если в системе линейных уравнений с неизвестными ${\Delta}\ne0$ , то система имеет решение и притом единственное.

Пример Решите систему уравнений $\left\{\begin{array}{l}2x_1-x_2+x_3=1,\\ 3x_1+x_2+5x_3=-3, \\ 5x_1+3x_3=2.\end{array}\right.$

Существование решения системы линейных уравнений общего вида

Теорема Кронекера-Капелли

Однородная система уравнений

Структура решений неоднородной системы линейных уравнений

Алгоритм нахождения решений произвольной системы линейных уравнений (метод Гаусса)

Примеры

Найдите общее решение системы уравнений

Найдите фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы линейных уравнений

Алгебраические структуры

Группы
Пример
Кольца
Пример
Поля

Многомерные пространства

Линейные пространства

Определение и примеры
По аналогии с трехмерным векторным пространством элементы любого линейного пространства называются векторами, хотя природа этих элементов может быть совсем иная.
Базис и размерность пространства
Теорема В линейном пространстве любые два базиса содержат одинаковое число векторов.
Координаты векторов
Изменение координат вектора при изменении базиса
Пример
Евклидово пространство
Определение Вещественное линейное пространство, в котором задано скалярное произведение называется евклидовым пространством.
Пример
Аффинное -мерное пространство

Линейные преобразования

Определение и примеры
Пример
Упражнение Пусть -- двумерное векторное пространство, -- некоторая прямая, проходящая через начало координат, $\mathcal{A}$ -- преобразование, переводящее каждый вектор в вектор симметричный исходному относительно прямой
Матрица линейного преобразования
Пример
Изменение матрицы линейного преобразования при изменении базиса
Собственные числа и собственные векторы
Определение 19.3 Ненулевой вектор называется собственным вектором линейного преобразования $\mathcal{A}$ , соответствующим собственному числу ${\lambda}$ , если ${\mathcal{A}(x)={\lambda}x}$ .
Пример
Нахождение собственных чисел и собственных векторов матриц
Пример Найдите собственные числа и собственные векторы матрицы $\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr}1&-3&4\\ 4&-7&8\\ 6&-7&7\end{array}\right).$
Матрица линейного преобразования в базисе из собственных векторов
Теорема Пусть собственные векторы ${e_1,\,e_2,\ldots,\,e_k}$ преобразования $\mathcal{A}$ соответствуют собственным числам ${{\lambda}_1,\,{\lambda}_2\ldots,\,{\lambda}_k}$ , среди которых нет равных друг другу. Тогда система векторов ${e_1,\,e_2,\ldots,\,e_k}$ является линейно независимой.
Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду
Теорема Если матрица -- симметричная, то ее собственные числа являются вещественными числами и существует ортонормированный базис из собственных векторов.
Пример Приведите уравнение поверхности $\displaystyle x^2+5y^2+z^2+2xy+6xz+2yz-2x+6y+2z=0$

Математика Интегральное исчисление