Предел функции и непрерывность

 

3. Неопределенность . Случай отношения многочленов.

Если , то Pn(x) и Qn(x) делятся на x-x0. Можно числитель Pn(x) и знаменатель Qm(x) разделить на (x-x0) или многочлены разложить на множители и сократить множитель x-x0.

 Пример 2.4. Найти пределы:

a)

б)

 

 

Здесь применена формула

.

в)

Числитель и знаменатель должны делиться на x+2.

Имеем:

x3-2x2+16 | x+2  x4+x3-x-10  | x+2

x3+2x  x2-4x+8 x4+2x3  x3-x2+2x-5

 -4x2+16 -x3-x

 -4x2-8x -x3-2x2

 8x+16 2x2-x

 8x+16 2x2+4x

 0 -5x-10

 -5x-10

 0

Тогда

  4. Неопределенность . Случай отношения иррациональных выражений. Как правило, В этом случае стараются избавиться от иррациональности и после чего сократить множитель x-x0.

 

 Пример 2.5. Найти пределы

а)

,

б)

  5. Неопределенность () следует преобразовать в неопределенность .

  Пример 2.6. Найти пределы

а)

=.

Предел  можно свести к предыдущему с помощью замены  x=t6.

 

б)

=.

  6. Неопределенность Здесь под единицей подразумевается переменная, стремящаяся к 1, а под - переменная, стремящаяся к .

  Имеется замечательный предел (второй)

 или ,

где е - иррациональное число , основание натурального логарифма. .

Более удобным при вычислении неопределенности  являются следствия из второго замечательного предела:

.

  Пример 2.7. Найти пределы.

а)

б)

Для транспортировки 39 тонн груза на 900 км. можно использовать одного из трех перевозчиков. Причем у каждого из них своя грузоподъемность используемых автомобилей. Сколько рублей придется заплатить за самую дешевую перевозку за один рейс?

Математика Интегральное исчисление