Примеры решения задач типовогорасчета

Указания к задаче 1.Все варианты задачи 1 разбиваются на два типа. В вариантах первого типа необходимо изменить порядок интегрирования

+

В вариантах второго типа необходимо изменить порядок интегрирования.

Напомним, что выражение 

 

обозначает двойной интеграл от функции  по области D.

Пусть область D задана в виде  

(это означает, что D состоит только из тех точек, координаты которых удовлетворяют неравенствам в фигурных скобках). Эта область слева ограничена прямой , справа прямой , снизу - кривой , сверху кривой Двойной интеграл от функции  по такой области вычисляется по формуле

(1)

 

 

Выражение в правой части называется повторным интегралом.

Пусть область D задана в виде . Эта область снизу ограничена прямой , сверху - , слева кривой , справа кривой . Двойной интеграл от функции  по такой области вычисляется по формуле

(2)

 

Для случая, когда область D разбита на две неперекрывающиеся области D1 и D2, справедливо следующее равенство:

(3)

 

Двойные интегралы в задаче 1 берутся по неперекрывающимся областям D1 и D2 . Поэтому, обозначив через   объединение областей D1 и D2, из (3) получим, что заданная сумма двойных интегралов от функции   (по областям D1 и D2)записанных в виде повторных интегралов, равна двойному интегралу функции по области D, т.е. выражению

(4)

 

Этот двойной интеграл нужно записать в виде повторного, используя формулу (1), если повторные интегралы в левой части полученного равенства были записаны по формуле (2). Если же эти повторные интегралы записаны по формуле (1), то двойной интеграл (4) нужно записать в виде повторного, используя формулу (2).

 

Объем конуса равен 112. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

Математика Интегральное исчисление