Примеры решения задач типового расчета

 

Вычислить:

   

Решение:

Напомним, что если тело V   снизу ограничено поверхностью , сверху – поверхностью   и проекция V  на плоскость ху есть область D , то тройной интеграл от функции f(x,y,z) по V вычисляется по формуле

Построив  поверхности ограничивающие V, видим, что V есть треугольная призма ( рис.5а.).

 

Рис.5.

 

 

 

 

 

 

 

Призма V ограничена: снизу поверхностью z=0, сверху поверхностью , и проекция V на плоскость ху совпадает с основанием D этой призмы (рис. 5б.). Поэтому

Внутренний интеграл по z вычисляем, считая х и у постоянными:

 

Полученный двойной интеграл удобнее вычислять, интегрируя сначала по у , а затем по х , поскольку при этом не встретится интегрирование по частям.

 

 

Ответ:J=1.

 

Объем конуса равен 112. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

Математика Интегральное исчисление