Поверхностные интегралы второго рода

Слово математика включает в себя математический анализ, геометрию и алгебру. Приступать к решению задачи в контрольной работе по предмету математика требуется исключительно после того, как вы прорешали задачи для своей самопроверки, разобрали типовые примеры, изучили теоретический материал по математике.

  Если на поверхности S есть хотя бы одна точка и хотя бы один не пересекающий границу поверхности контур, при обходе по которому направление нормали в точке меняется на противоположное, то такая поверхность называется односторонней.

  Если при этих условиях направление нормали не меняется, то поверхность называется двухсторонней.

Будем считать положительным направлением обхода контура L, принадлежащего поверхности, такое направление, при движении по которому по выбранной стороне поверхности сама поверхность остается слева.

  Двухсторонняя поверхность с установленным положительным направлением обхода называется ориентированной поверхностью.

 

  Рассмотрим в пространстве XYZ ограниченную двухстороннюю поверхность S, состоящую из конечного числа кусков, каждый из которых задан либо уравнением вида z = f(x, y), либо является цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси OZ.

  Определение. Если при стремлении к нулю шага разбиения поверхности S интегральные суммы, составленные как суммы произведений значений некоторой функции на площадь частичной поверхности, имеют конечный предел, то этот предел называется поверхностным интегралом второго рода.

 

 

 

- поверхностный интеграл второго рода.

  Свойства поверхностного интеграла второго рода аналогичны уже рассмотренным нами свойствам поверхностного интеграла первого рода.

Т.е. любой поверхностный интеграл второго рода меняет знак при перемене стороны поверхности, постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, поверхностный интеграл от суммы двух и более функций равен сумме поверхностных интегралов от этих функций, если поверхность разбита на конечное число частичных поверхностей, интеграл по всей поверхности равен сумме интегралов по частичным поверхностям.

[an error occurred while processing this directive]

Если S- цилиндрическая поверхность с образующими, параллельными оси OZ, то . В случае, если образующие поверхности параллельны осям OX и OY, то равны нулю соответствующие составляющие поверхностного интеграла второго рода.

 

Вычисление поверхностного интеграла второго рода сводится к вычислению соответствующих двойных интегралов. Рассмотрим это на примере.

 

Пример. Вычислить интеграл  по верхней стороне полусферы

 

  Преобразуем уравнение поверхности к виду:

 

 Заданная поверхность проецируется на плоскость XOY в круг, уравнение которого:

[an error occurred while processing this directive]

 Для вычисления двойного интеграла перейдем к полярным координатам:

 

,

 

 

 

Существуют разные методы концентрации при решении задач, я расскажу об основных. Вы учили материал, прекрасно справлялись с задачами, любите математику, тогда не волнуйтесь на контрольной. Главная проблема это слишком сильное волнение, отнеситесь к контрольной проще и решение задач будет так же простым. Что меньше нервничать перед контрольной, раньше лягте спать что бы выспаться и не опоздать на контрольную, и соответственно не тратить лишние нервы!

Математика Интегральное исчисление