Колебания свободные и вынужденные маятник

Механические колебания Основные характеристики колебаний.

Кинематические характеристики гармонических колебаний.

Из предыдущих выражений видно, что скорость и ускорение материальной точки осуществляют гармонические колебания с той же частотой , что и колебание смещения.

Энергия гармонических колебаний Рассмотрим энергию тела массой , которое под действием упругой или квазиупругой силы осуществляет собственные гармонические колебания с амплитудой  и циклической частотой .

Векторное изображение гармонических колебаний. Гармонические колебания изображают графически оборотным вектором амплитуды, или методом векторных диаграмм.

В физике часто применяется метод выражения гармонических колебаний, который отличается от метода оборотного вектора амплитуды только по форме.

Гармонический осциллятор Механическую систему, закон движения которой описывается уравнением , (1.

Пример. В качестве конкретной реализации гармонического осциллятора можно привести пружинный маятник.

Закон полного тока для магнитного поля в вакууме(теорема о циркуляции вектора В). В разделе “Электростатика” было доказано, что циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль замкнутого контура равна нулю, откуда следует потенциальный характер электростатического поля. Одним из основных отличий магнитного поля от электростатического поля является его непотенциальность.

Физический маятник Физическим маятником называют твердое тело, способное осуществлять колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси, которая не проходит через центр масс этого тела.

Сравнивая выражения для периода колебаний математического и физического маятников, получим, что величина  измеряется в единицах длины, то есть

.  (11.48)/

Сложение колебаний одинакового направления. Биения.

Если векторы складываемых амплитуд  и  будут вращаться с разными угловыми скоростями, то угол между ними будет изменяться со временем и результирующая амплитуда также будет изменяться со временем, то есть колебание будет не гармоническим.

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний Тело может также принимать участие в колебательных движениях, направления колебаний которых не совпадают.

Это соотношение является уравнением траектории результирующего движения тела, которое одновременно принимает участие в двух колебаниях, направления которых взаимно перпендикулярны.

Покажем, что в случае  движение тела происходит по эллипсу в направлении по часовой стрелке.

Затухающие колебания В реальных физических системах, которые осуществляют колебательное движение, всегда действуют силы внутреннего и внешнего трения и сопротивления среды.

Установим закономерность уменьшения амплитуды  затухающих колебаний и определим частоту колебаний .

Затухающие колебания не являются гармоническими, поскольку амплитуда колебаний изменяется.

Вынужденные колебания Колебательная система, выведенная из положения равновесия и предоставленная самой себе, будет осуществлять свободные затухающие колебания, постепенно теряя начальной запас механической энергии на работу против сил среды.

Решение соответствующего однородного дифференциального уравнения характеризует затухающие колебания, которые через некоторый промежуток времени практически исчезают.

Вынужденные колебания отстают по фазе от вынуждающей силы на величину , которая также является функцией .

Автоколебания Собственные колебания любой системы в результате потерь энергии на выполнение работы против сил трения постепенно затухают.

Пусть добротность колебательной системы велика и, следовательно, потери энергии в ней сравнительно малы.

.Как соотносятся циклические частоты гармонических колебаний энергии и гармонических колебаний смещения?

Чему равен сдвиг фаз между смещением системы, совершающей вынужденные колебания, и вынуждающей силой, если частота вынуждающей силы равна частоте собственных колебаний системы?

Математический маятник Одним из самых простых примеров гармонического колебания есть колебательное движение математического маятника.

Физический маятник Физическим маятником называют твердое тело, способное осуществлять колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси, которая не проходит через центр масс этого тела.

Возможны случаи, когда тело принимает участие одновременно в нескольких колебательных движениях. Результирующее смещение тела, принимающего участие в нескольких колебательных движениях, равно геометрической сумме независимых смещений, которые тело получает в каждом колебательном движении в частности.

Рассмотрим случай сложения одинаково направленных колебаний с разными частотами, уравнения которых  и .  (11.61).

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний Тело может также принимать участие в колебательных движениях, направления колебаний которых не совпадают.

Смещение точки в любой момент времени от положения равновесия находим из соотношения:  (11.75).

Фигуры Лиссажу занимают ограниченную область пространства, которой можно поставить в соответствие некоторый прямоугольник.

Затухающие колебания В реальных физических системах, которые осуществляют колебательное движение, всегда действуют силы внутреннего и внешнего трения и сопротивления среды.

Установим закономерность уменьшения амплитуды  затухающих колебаний и определим частоту колебаний . Будем считать, что потери энергии системы в процессе колебаний в основном предопределены работой против сил сопротивления.

Следовательно, частота затухающих колебаний всегда меньше от частоты собственных колебаний системы , то есть наличие сил сопротивления в системе   уменьшает частоту (увеличивает период) колебаний.

Вынужденные колебания Колебательная система, выведенная из положения равновесия и предоставленная самой себе, будет осуществлять свободные затухающие колебания, постепенно теряя начальной запас механической энергии на работу против сил среды.

Найдем частное решение уравнения вынужденных колебаний.

Явление резкого роста амплитуды вынужденных колебаний при частотах  вынуждающей силы, близких к , называется резонансом.

Вынужденные колебания возникают также при периодическом  кратковременном действии внешних сил на колебательную систему.

В автоколебательных системах незатухающие колебания поддерживаются за счет энергии, которая передается от источника энергии к системе.

Проведите качественный сравнительный  анализ свободных и затухающих колебаний.

При каких условиях колебания математического маятника являются изохронными? Чему равен период колебаний математического маятника в этом случае?

После начального толчка подвешенное на пружине тело осуществляет гармонические колебания с некоторой амплитудой , а соответствующая фазовая траектория имеет форму эллипса.

Математическим маятником называют материальную точку, подвешенную на невесомой и нерастяжимой нити, которая колеблется в вертикальной плоскости под действием силы тяжести.

В положении равновесия физического маятника его центр масс находится на вертикали с точкой подвеса, но ниже от нее.

Действительно, согласно теореме Гюйгенса-Штейнера момент инерции маятника относительно оси, которая проходит через точку подвеса, равняется

  (11.49).

Результирующее смещение тела, принимающего участие в нескольких колебательных движениях, равно геометрической сумме независимых смещений, которые тело получает в каждом колебательном движении в частности.

 Если векторы складываемых амплитуд  и  будут вращаться с разными угловыми скоростями, то угол между ними будет изменяться со временем и результирующая амплитуда также будет изменяться со временем, то есть колебание будет не гармоническим.

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний Тело может также принимать участие в колебательных движениях, направления колебаний которых не совпадают.

Следовательно, траектория результирующего движения имеет вид эллипса, полуоси которого  и  ориентированы вдоль координатных осей и .

Большинство механических колебаний происходят при небольшой скорости колебательного движения.

Поскольку механическая энергия колебательного движения пропорциональна квадрату амплитуды затухающих колебаний, то зависимость амплитуды от времени имеет вид: , (11.97).

Отношение амплитуд колебаний в начале и в конце периода   (11.101) есть величина постоянная для всего периода колебаний и называется декрементом затухания колебаний.

Под действием вынуждающей силы выполняется работа. Если направление движения колебательной системы совпадает с направлением действия вынуждающей силы, то будет выполняться положительная работа.

Найдем частное решение уравнения вынужденных колебаний. При этом будем считать, что под действием внешней силы колебания практически установились, и система осуществляет гармонические вынужденные колебания с частотой, равной частоте вынуждающей силы.

Явление резкого роста амплитуды вынужденных колебаний при частотах  вынуждающей силы, близких к , называется резонансом.

Для автоколебательной системы характерна, так называемая, обратная связь.

Как можно классифицировать колебания в зависимости  от физических свойств колебательного движения? от характера воздействия на колебательную систему?

Что называется фазовой плоскостью? фазовой траекторией?

Какой вид имеет уравнение траектории движения тела, которое одновременно принимает участие в двух взаимно перпендикулярных колебаниях?

Математика Примеры решения задач