Рассмотрим эффективность реактивного движения

Гармонический осциллятор Курс лекций по физике

Пример. В качестве конкретной реализации гармонического осциллятора можно привести пружинный маятник. После начального толчка подвешенное на пружине тело осуществляет гармонические колебания с некоторой амплитудой , а соответствующая фазовая траектория имеет форму эллипса. При других начальных условиях колебания происходят с другими амплитудами, но имеют тот же характер. Следовательно, фазовый портрет пружинного маятника имеет вид семейства концентрических эллипсов. В фазовый портрет входит также положение равновесия осциллятора, то есть точка . Из геометрических рассуждений вытекает, что это единственная особенная точка фазовой плоскости. Такая точка может лежать только на оси , потому что в противном случае состояние покоя осциллятора невозможно.

Математический маятник

Одним из самых простых примеров гармонического колебания есть колебательное движение математического маятника. Математическим маятником называют материальную точку, подвешенную на невесомой и нерастяжимой нити, которая колеблется в вертикальной плоскости под действием силы тяжести. Когда система находится в покое, то сила тяжести уравновешивается силой натяжения нити . Если шарик отклонить на некоторый угол , то равнодействующая  силы натяжения и силы тяжести  пытается повернуть шарик в положение равновесия. Горизонтальная составляющая силы тяжести (возвращающая сила) равна

. (11.37) Оптическая пирометрия. Тепловые источники света Законы теплового излучения используются для измерения температуры раскаленных и самосветящихся тел (например, звезд). Методы измерения высоких температур, использующие зависимость спектральной плотности энергетической светимости или интегральной энергетической светимости тел от температуры, называются оптической пирометрией.

Поскольку зависимость такой силы от угла  нелинейна, то колебания маятника не будут гармоническими. Для малых углов  можно записать, что

  (11.38)

(где  - горизонтальное смещение маятника от положения равновесия), и выражение для возвращающей силы будет иметь вид

,  (11.39)

где  - длина маятника. В этом случае сила  пропорциональна углу , потому колебания маятника можно считать гармоническими. Уравнение движения математического маятника имеет вид

.  (11.40)

 Знак «минус» указывает на то, что возвращающая сила направлена к положению равновесия, а смещение отчисляется от положения равновесия, потому знак ускорения противоположен знаку смещения.

Проводя аналогию между математическим и упругом маятниками, можно записать, что коэффициент жесткости, и период колебаний имеют следующий вид:

  и . (11.41)

Отсюда вытекает, что период колебаний математического маятника не зависит от амплитуды колебаний (для малых значений угла отклонений ) и массы маятника, а определяется его длиной и ускорением свободного падения тел в данном месте Земли.

Сложение колебаний одинаковой частоты и направления:
амплитуда результирующего колебания
где А1 и А2 - амплитуды составляющих колебаний,
α1 и α2 - начальные фазы составляющих колебаний;

начальная фаза результирующего колебания

Амплитуда затухающих колебаний:
где А0 - амплитуда в начальный момент времени;
β - коэффициент затухания;
t - время.


Математика Физика понятия силы и массы